秘书问题

00001 2018-11-28 408

秘书问题-转自维基百科

问题描述:

在概率及博弈论上,秘书问题(Secretary problem),类似的名称有相亲问题、止步问题、见好就收问题、苏丹的嫁妆问题、挑剔的求婚者问题等,内容是这样的:要聘请一名秘书,有 n 个应聘者。每次面试一人,面试后就要及时决定是否聘他,如果当时决定不聘他,他便不会回来。面试后总能清楚了解应聘者的合适程度,并能和之前的每个人做比较。问什么样的策略,才使最佳人选被选中的概率最大。

解决策略:

这个问题的最优解是一个停止规则。在这个规则里,面试官会拒绝头 r - 1 个应聘者(令他们中的最佳人选为 应聘者 M),然后选出第一个比 M 好的应聘者。可见最优策略包含于这个系列的策略中。(如果M在所有n个应聘者中也是最好的一个,那么这个策略将选不出任何人选)对于任意的截断值 r,最佳人选被选中的概率是:


求和符号内概率的计算是基于:如果应聘者 i 是(所有应聘者中的)最佳人选,他被选中当且仅当头 i - 1 个应聘者中的最佳人选处在头 r - 1 个被拒绝的应聘者中。令 n趋近无穷大,把 x 表示为 r/n 的极限,令 t 为 i/n,dt 为 1/n,总和可以近似为如下积分:

令 P(x) 对 x 的导数为 0,解出 x,我们得到最优的 x 等于 1/e。从而,当 n 增大时,最优截断值趋近于 n/e 最佳人选被选中的概率为 1/e。

对于较小的 n 值, 最优的 r 也可以通过动态规划方法得到。下表给出了一些最优的 r 值:

n123456789
r112233344
P1.0000.5000.5000.4580.4330.4280.4140.4100.406

注:以上对于问题的描述基于特定的假设条件,如果将有关条件进行限定或调整,则会衍生出其他解决策略。

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